1. 当 $\mu < \infty$ 时,

1.1 由定理 2.10.7 的推论,

于是有

1.2 给定常数 $M$, 对于 $n \in \N$, 定义

于是

从而有

故

对于混合型非负随机变量 $\overline X_n$, 利用如下期望公式 (证明见概率论笔记), 有

于是当 $M \to \infty$ 时, $\lim_{t \to \infty} \dfrac{m(t)}{t} = \dfrac{1}{\mu}$.

2. 当 $\mu = \infty$ 时,

如 1.2 中定义, 由 $\mu_M < \infty$,

从而得证.